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By Kunz Ernst

Kunz E. Algebra (3ed, Vieweg, 2000)(de)(ISBN 3528272430)-o

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Aus gjf folgt b0 ja0 und bm jan . Fur Polynome vom Grad 2 oder 3 aus R X ] kann man diese Tatsache haug zu einem Irreduzibilitatsbeweis benutzen, indem man zeigt, da sie keine Teiler vom Grad 0 oder 1 besitzen. Bei Polynomen vom Grad 4 oder 5 hat man auch mogliche quadratische Teiler in Betracht zu ziehen. Insbesondere fur R = Z und Polynome \kleinen Grades" ist das eine wirkungsvolle Methode. Satz. (Eisenstein) Sei f = a0 + a1 X + É É É + an X n 2 R X ] vom Grad n > 0 und sei ggT(a0 ; a1 ; : : : ; an ) = 1.

Regeln fur irreduzible Elemente: a) Ist r irreduzibel und r s , dann ist auch s irreduzibel. b) Sind r und s irreduzibel und gilt rjs , so ist r s . Analog zur Primzahlzerlegung der naturlichen Zahlen, die auf die griechische Mathematik des Altertums zuruckgeht (vgl. Tropfke T ], S. 249), versucht man, die Elemente eines beliebigen Integritatsbereichs als Produkte irreduzibler Elemente zu schreiben. Dazu mu eine Zusatzbedingung erfullt sein. 1 Teilerkette in R ist eine Folge frn gn2N von Elementen rn 2 R mit rn jrn fur alle n 2 N .

A) Ist 2n 1 eine Primzahl, so auch n . b) Ist 2n + 1 eine Primzahl, dann ist n eine Potenz von 2. c) Fur m; n 2 N mit m 6= n sind die Zahlen 2 m + 1 und 2 n + 1 teilerfremd. 8) Seien p ; : : : ; pr paarweise verschiedene Primzahlen und m 2 N , m 2. Zeigen Sie, da mpp É : : : É pr irrational ist. 9) Diese Aufgabe setzt Grundkenntnisse aus der Funktionentheorie voraus. Sei R der Ring der in der komplexen Ebene holomorphen Funktionen (der Ring der \ganzen" Funktionen). Zeigen Sie: a) E (R) besteht aus den Funktionen, die keine Nullstelle besitzen.

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