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By Claudio Canuto, Anita Tabacco

Il testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica secondo i principi dei nuovi Ordinamenti Didattici. E' in particolare pensato in keeping with quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico è¨ parte significativa della formazione. I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale di più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica del testo ricalca quella usata consistent with l'ANALISI I. los angeles modalit� di presentazione degli argomenti permette un uso flessibile e modulare del testo, in modo da rispondere alle various possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un corso di Analisi Matematica. Il libro presenta tre diversi livelli di lettura. Un livello "essenziale" permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia e di familiarizzare con le relative tecniche di calcolo. Un livello intermedio fornisce le giustificazioni dei principali risultati e arricchisce l'esposizione mediante utili osservazioni e complementi. Un terzo livello di lettura, basato su numerosi riferimenti advert un testo virtuale disponibile in rete, permette all'allievo più motivato ed interessato di approfondire l. a. sua preparazione sulla materia. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet� di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con l. a. relativa soluzione. in line with oltre l. a. met� di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

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Pertanto essa converge puntualmente alla funzione somma 1 s(x) = 1−x in A = (−1, 1); sullo stesso insieme si ha anche convergenza assoluta. Per quanto riguarda la convergenza uniforme, essa vale in ogni intervallo chiuso [−a, a], con 0 < a < 1. Infatti, 1 − xn+1 1 |x|n+1 an+1 |sn (x) − s(x)| = − = ≤ , 1−x 1−x 1−x 1−a avendo osservato che se |x| ≤ a allora 1 − a ≤ 1 − x. 6, si ha il risultato. 10 possono E essere riformulati per le serie di funzioni. Nel seguito, per comodit` a dello studente, riportiamo gli enunciati opportunamente adattati.

Pertanto il raggio di convergenza vale R = e. iii) Consideriamo la serie ∞ k=2 2 2k + 1 (x − 2)2k . 9) Conviene porre y = (x−2) e studiare la serie di potenze in y centrata nell’origine ∞ k=2 2k + 1 yk . 10) Risulta lim k k→∞ 2k + 1 =1 (k − 1)(k + 2) e quindi in raggio di convergenza di tale serie vale 1. 20). 10) converge per −1 ≤ y < 1. Ritornando alla variabile x, questo equivale a −1 ≤ (x − 2)2 < 1. La prima disequazione `e sempre verificata, mentre la seconda `e vera per −1 < x − 2 < 1. 9) ha raggio di convergenza R = 1 e converge nell’intervallo (1, 3) (si noti che il centro `e x0 = 2).

Iterando il procedimento si ottiene il risultato. ∞ ak xk `e la b) Il risultato segue immediatamente osservando che la serie ∞ k=0 ak k+1 x serie derivata della serie . 18. 14) deduciamo, derivando termine a termine, che per x ∈ (−1, 1), si ha ∞ ∞ kxk−1 = k=1 (k + 1)xk = k=0 1 . 14) sostituendo −x a x, risulta, per ogni x ∈ (−1, 1), ∞ k=0 (−1)k k+1 x = k+1 ∞ k=1 (−1)k−1 k x = log(1 + x) . 14) sostituendo −x2 a x, ancora integrando termine a termine, deduciamo che, per ogni x ∈ (−1, 1), si ha ∞ k=0 (−1)k 2k+1 x = arctan x .

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